Cálculo

Incluye contenido e índice

1. Funciones. -- Números, conjuntos, intervalos y valores absolutos. -- Desigualdades. -- Relaciones y gráficas. -- Funciones. -- Ejemplos de funciones. -- Funciones trigonométricas. -- 2. Límites y funciones continuas. -- La aparición natural de las operaciones de límite. -- Límite de una función. -- Operaciones con límites. -- Límites laterales, límites al infinito y límites infinitos. -- Funciones continuas. -- Propiedades de las funciones continuas. -- 3. La derivada. -- Definición de la derivada; la regla para potencias. -- El álgebra de las derivadas. -- Derivadas de orden superior y antiderivadas. -- Aproximaciones lineales. -- Funciones compuestas y la regla de la cadena. -- Derivadas de las funciones trigonométricas. -- Derivación implícita. -- 4. Aplicaciones de la derivada. -- El teorema del valor medio y algunas de sus consecuencias. -- Máximos y mínimos de funciones. -- Aplicaciones de los máximos y mínimos. -- Problemas de razones relacionadas. -- Método de Newton. -- 5. Algunos temas geométricos. -- Dibujo de curvas. -- Ecuaciones cuadráticas, parábolas y traslación de ejes. -- Elipses. -- Hipérbolas. -- Ecuaciones paramétricas. -- 6. La integral. -- Notación de suma: Área. -- La integral de Riemann. -- Propiedades de la integral de Riemann. -- El teorema fundamental del cálculo. -- Integración por sustituciones. -- Integración numérica. -- 7. Aplicaciones de la integral. -- Más sobre áreas de regiones planas. -- Volumen. -- Longitud de arco y área de una superficie. -- Aplicaciones a la mecánica. -- Aplicaciones a las ciencias biológicas y a las ciencias sociales. -- 8. Funciones elementales trascendentes. -- Funciones inversas. -- La función logaritmo natural. -- La función exponencial. -- Algunas aplicaciones de la función exponencial. -- Logaritmos y exponenciales de otras bases. -- Las funciones trigonométricas inversas. -- Las funciones hiperbólicas y las funciones hiperbólicas inversas. -- 9. Métodos de integración. -- Más sobre el tema de sustitución. -- Integración por partes. -- Integrales dónde intervienen senos y cosenos. -- Integrales donde intervienen otras funciones trigonométricas. -- Sustituciones trigonométricas. -- Fracciones parciales. -- Fracciones parciales: factores cuadráticos repetidos. -- 10. Ecuaciones diferenciales de primer orden. -- Ecuaciones lineales. -- Ecuaciones de variables separables. -- Métodos numéricos. -- 11. Formas indeterminadas regla de L'Hospital e integrales impropias. -- Formas indeterminadas y la regla de L'Hospital. -- Otras formas indeterminadas; extensiones de la regla de L'Hospital. -- Integrales impropias. -- Criterio de comparación para las integrales impropias. -- 12. Series infinitas. -- Sucesiones. -- Convergencia y divergencia de las series. -- El criterio de comparación. -- El criterio de la razón. -- El criterio de la integral. -- Series alternantes. -- Convergencia absoluta y convergencia condicional. -- Resumen de los criterios de convergencia. -- 13. Aproximación de Taylor y series de potencias. -- Polinomios de Taylor. -- El teorema del residuo de Taylor y las series de Taylor. -- Series de potencias y radio de convergencia. -- Propiedades algebraicas de las series de potencias. -- Derivación e integración de las series de potencias. -- La serie binomial y algunas otras series. -- 14. Coordenadas polares. -- El sistema de coordenadas polares. -- Dibujo de curvas en coordenadas polares. -- Área y longitud de arco en coordenadas polares. -- 15. Vectores y geometría analítica tridimensional. -- Vectores en dos dimensiones. -- El producto escalar. -- Vectores en tres dimensiones. -- El producto vectorial. -- Planos y rectas. -- Funciones vectoriales de una variable. -- Longitud de arco y curvatura. -- Dinámica de las partículas. -- Las leyes de Kepler. -- Cilindros, superficies de revolución y superficies cuádricas. -- 16. Derivación de funciones de varias variables. -- Funciones, límites y continuidad. -- Derivadas parciales. -- Funciones diferenciales y la regla de la cadena. -- El gradiente y la derivada direccional. -- El plano tangente y la recta normal. -- Máximos y mínimos de funciones de dos variables. --Problemas de extremos con restricciones. -- Funciones implícitas. -- 17. Integrales múltiples. -- Integrales dobles. -- Integrales iteradas. -- Aplicaciones de las integrales dobles. -- Integración empleando coordenadas polares. -- Integrales triples. -- Integración empleando coordenadas cilíndricas. -- Integración empleando coordenadas esféricas. -- 18. Integrales de línea y de superficie. -- Integrales de línea. -- Independencia de la trayectoria. -- Teorema de Green. -- Área de una superficie e integrales de superficie. -- Ecuaciones paramétricas de superficies. -- La divergencia y el rotacional. -- El teorema de la divergencia. -- El teorema de Stickes. -- Bibliografía recomendada. -- Respuesta a los problemas de número impar A-1.